Unity 개발이나 컴퓨터 그래픽스에서 중요한 **벡터(Vector)의 개념을 정리합니다.
Unity開発やコンピュータグラフィックスで重要なベクトル(Vector)**の概念を整理します。
데카르트 좌표계(Cartesian Coordinate System)
- 수의 시스템을 기반으로 영역을 확장해 표현하는 방식
- 수를 직선으로 바라보고, 직선을 90도로 교차시켜 하나의 평면을 표현
- 실수 집합 ( \mathbb{R} )은 수 직선을 나타냄
- 실수의 곱집합 ( \mathbb{R} \times \mathbb{R} )를 벡터(Vector)와 벡터공간(Vector Space)라고 정의
벡터 공간 (V)
넓은 관점에서 두 개의 집합 (F)의 곱집합으로 바라볼 수 있음
벡터의 연산
1. 벡터와 벡터의 덧셈
[ (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) ]
- x축 값끼리, y축 값끼리 각각 더함
- 서로 영향을 주지 않음 (독립적 연산)
2. 벡터와 스칼라의 곱셈
[ k \cdot (a,b) = (ka, kb), \quad (a,b) \cdot k = (ak, bk) ]
- 벡터의 각 성분에 스칼라 값을 곱함
3. 벡터의 크기 (Norm)
- 수의 크기: 원점으로부터 거리 (|x|)
- 벡터의 크기: 원점으로부터 거리 (|\mathbf{v}|)
- 피타고라스의 정리와 동일한 개념
[ |\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2} ]
벡터 공간의 공리
벡터 공간(Vector Space)은 벡터의 연산이 닫힌 시스템으로 정의된 집합입니다.
스칼라(Field)의 체계 위에서 확장된 시스템으로, 8가지 공리를 만족합니다.
표기: ( u, v, w )는 벡터, ( a, b )는 스칼라
-
덧셈 연산의 결합법칙
[ u + (v + w) = (u + v) + w ] -
덧셈 연산의 교환법칙
[ u + v = v + u ] -
덧셈 연산의 항등원
[ v + \mathbf{0} = v \quad (\mathbf{0} = \text{영벡터}) ] -
덧셈 연산의 역원
[ v + (-v) = \mathbf{0} ] -
스칼라 곱셈 연산의 호환성
[ a (b v) = (ab) v ] -
스칼라 곱셈 연산의 항등원
[ 1 \cdot v = v ] -
벡터 덧셈과 스칼라 곱셈의 분배법칙
[ a(u+v) = a u + a v ] -
스칼라 덧셈과 스칼라 곱셈의 분배법칙
[ (a+b)v = a v + b v ]
정리
- 벡터는 방향과 크기를 가진 수의 집합
- 벡터 연산은 독립적이며 선형적
- 벡터 공간의 공리를 통해 체계적 수학적 구조를 구성
벡터는 Unity에서 위치, 속도, 힘 등 다양한 계산의 핵심이 됩니다.
ベクトルはUnityで位置、速度、力などさまざまな計算の核心となります。