Vector 시스템과 수 체계 / Vectorシステムと数体系

우리가 구축하는 게임 세계 “Vector” / 我々が構築するゲーム世界「Vector」#

우리의 게임 세계 Vector는 견고한 시스템 위에 구축됩니다.
我々が最終的に構築するゲーム世界「Vector」は、堅牢なシステムの上に成り立っている。

이 “Vector”를 정확히 이해하려면, 수가 갖는 시스템과 체계에 대한 이해가 필요합니다.
この「Vector」を正確に理解するためには、「数」が持つシステムや体系についての理解が必要です。

본 시스템에서는 **실수 집합 (The set of real numbers)**을 사용합니다.
本システムでは **実数集合（The set of real numbers）**を使用します。

실수 집합이란, 수 사이에 빈틈이 없는 연속적인 무한 요소로 구성된 집합입니다.
実数集合とは、数の間に隙間が存在しない連続的な無限の要素で構成された集合です。

수의 표현 방법 / 数の表現方法#

Vector 시스템에 익숙해지려면, 수를 보는 시점을 바꿔야 합니다.
「Vector」システムに慣れるためには、数を捉える視点を変える必要があります。

단일 체계의 크기 비교가 아니라, 원점(0)을 기준으로 양/음으로 나누고, “크기(절대값)“와 “방향(부호)“로 수를 표현해야 합니다.
単一の体系に基づいた大小関係で数を並べるのではなく、原点（0）を基準に正負の二つの体系に分け、“大きさ（絶対値）“と”方向（符号）“で数を表現する必要があります。

일반적인 수의 나열
- 예: $-4 < 4$
- 通常の数の並べ方
  例： $-4 < 4$
원점 중심 절대값과 방향으로 표현
- 예: $-|4| \quad\cdots\quad +|4|$
- 原点を中心に、絶対値と方向で表す方法
  例： $-|4| \quad\cdots\quad +|4|$

크기: $|x|$
방향: 부호 (+ / -)
大きさ： $|x|$
方向：正負記号（+ / -）

이항 연산 / 二項演算 (Binary Operation)#

**집합(Set)**은 **원소(Element)의 모음(Collection)**입니다.
**集合（Set）**とは、**要素（Element）の集まり（Collection）**です。

수의 집합이 일반 집합과 다른 점은, 연산이 정의되어 있음입니다.
数の集合が通常の集合と異なる点は、演算が定義されているということです。

사칙 연산 재구성 / 四則演算の再構成#

뺄셈: $10 - 3 = 10 + (-3)$
減算： $10 - 3 = 10 + (-3)$
나눗셈: $10 \div 3 = 10 \cdot \frac{1}{3}$
除算： $10 \div 3 = 10 \cdot \frac{1}{3}$

※ 곱셈 기호는 ”×” 대신 ”・” 사용
※ 記号の都合上、掛け算には「×」ではなく「・」を使用することが多い

이항 연산 성질 / 二項演算の性質#

교환법칙: $a \cdot b = b \cdot a$
交換法則（Commutativity）： $a \cdot b = b \cdot a$
결합법칙: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
結合法則（Associativity）： $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
분배법칙: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
分配法則（Distributivity）： $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

항등원(Identity)#

연산 결과가 자기 자신이 되는 특별한 원소
演算の結果が自分自身となる特別な要素

덧셈 항등원: $a + 0 = a$
加法の単位元： $a + 0 = a$
곱셈 항등원: $a \cdot 1 = a$
乗法の単位元： $a \cdot 1 = a$

역원(Inverse)#

연산 결과가 항등원이 되는 원소
演算の結果が単位元となる要素

덧셈 역원(부호 반전): $a + (-a) = 0$
加法の逆元（反数）： $a + (-a) = 0$
곱셈 역원(역수): $a \cdot \frac{1}{a} = 1 \quad (a \ne 0)$
乗法の逆元（逆数）： $a \cdot \frac{1}{a} = 1 \quad (a \ne 0)$

뺄셈 = 덧셈 역원 더하기
나눗셈 = 곱셈 역원 곱하기
引き算は加法の逆元を加える操作
割り算は乗法の逆元を掛ける操作

체(Field)의 공리 / 体（Field）の公理#

**공리(Axiom)**란 증명이 필요 없는 기본 명제
公理とは、理論体系の中で証明を必要としない基本命題

이 공리를 기반으로 수의 구조 정의 가능
これにより、さまざまな数の構造が定義される

군(Group)의 공리 / 群（Group）の公理#

덧셈 연산에 대해 만족:

닫힘(Closure)
결합법칙(Associativity)
항등원(Identity) 존재
역원(Inverse) 존재

아벨군(Abelian Group)#

덧셈에 대한 교환법칙 만족
加法について交換法則を満たす群

환(Ring)의 공리 / 環（Ring）の公理#

덧셈, 곱셈 모두에 대해 만족:

곱셈 닫힘
곱셈 결합법칙
분배법칙
곱셈 항등원 존재

가환환(Commutative Ring)#

곱셈 교환법칙 만족
乗法において交換法則を満たす環

체(Field) 재정의 / 体（Field）の再掲#

0이 아닌 모든 원소에 대해 곱셈 역원 존재
加法・乗法ともに 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 항등원, 역원 존재

→ 사칙 연산 자유롭게 사용 가능, 순서도 유연하게
→ 四則演算が自由に適用でき、順序を柔軟に扱える

→ 체 구조를 가진 수 집합 예: 유리수(ℚ), 실수(ℝ), 복소수(ℂ)
→ 体の構造を持つ数集合には、有理数（ℚ）、実数（ℝ）、**複素数（ℂ）**がある

체 집합을 $F$ 로 표기하며, 요소를 **스칼라(Scalar)라 부름
体集合は通常 $F$ と表記され、その要素をスカラー（Scalar）**と呼ぶ

수와 연산의 추상화 / 数と演算の抽象化#

a + b

실수 a와 b를 더함
スカラー a と b を加える

→ 체의 성질을 만족하는 수체계에서 일반적으로 사용 가능
→ より汎用的な数と演算のシステムを構築可能